Focus mathématiques - La fonction logarithme décimal et sa réciproque, la puissance de 10

La fonction logarithme décimale, notée `log(x)`, possède les propriétés suivantes (à connaître).

On remarque que `10^{log(a)} = log(10^a) = a`. On dit que les fonctions `10^x` et `log(x)` sont des fonctions réciproques, elles se "neutralisent" :

• pour enlever une puissance de dix, on utilise la fonction logarithme décimale ;
  
• réciproquement, pour enlever une fonction logarithme, on utilisera une puissance de dix.

La fonction logarithme décimal est un outil mathématique utile pour manipuler une grandeur dont les variations sont très importantes et dont les valeurs peuvent varier de plusieurs ordres de grandeur.

Exemple

Considérons une grandeur dont les valeurs, exprimées dans une certaine unité, peuvent varier de `10^0` à `10^14`. On souhaite les placer sur un axe en prenant `1\ "mm"` pour `10^0`. Ainsi, `1\ "cm"` représente `10^1`, `10\ "cm"` représente `10^2`, `1\ "m"` représente `10^3`, etc.

Pour placer `10^14` sur cet axe, il faudrait une longueur de `10^11\ "m"`, soit 100 millions de kilomètres ! Cette distance est du même ordre de grandeur que la distance Terre-Soleil ; il faudrait donc une très grande feuille. Pour pallier cette difficulté, les scientifiques construisent de nouvelles grandeurs, plus faciles à manipuler, à l'aide de la fonction logarithme décimal ; on parle de grandeurs logarithmiques.

Dans notre exemple, si l'on considère la grandeur logarithmique de la grandeur précédente, ses valeurs varieront désormais de `0` ( puisque `"log"(10^0)=0` )`` à 14 (puisque `"log"(10^14)=14`). Cet intervalle de valeurs ne pose plus de problème de représentation sur une feuille.

Remarque : au lycée, deux grandeurs logarithmiques sont au programme : le `"pH"` en chimie et le niveau d'intensité sonore en physique.